Question

8．若函数f（x）=axsinx-$\frac{3}{2}（{a∈R}）$，且在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值为$\frac{π-3}{2}$，则实数a的值为1．

Answer 1

分析 由题意，可借助导数研究函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调性，确定出最值，令最值等于 $\frac{π-3}{2}$，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解．

解答 解：由已知得f′（x）=a（sinx+xcosx），
对于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，有sinx+xcosx＞0，当a=0时，f（x）=-$\frac{3}{2}$，不合题意；
当a＜0时，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＜0，从而f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]单调递减，
又函数在上图象是连续不断的，故函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为f（0）=-$\frac{3}{2}$，不合题意；
当a＞0时，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＞0，从而f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]单调递增，
又函数在上图象是连续不断的，故函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$a-$\frac{3}{2}$=$\frac{π-3}{2}$，解得a=1，
故答案为：1．

点评 本题考察了利用导函数研究其单调性和函数的最值问题，需要分类讨论．属于中档题．