Question

10．已知数列{a_n}为公差不为零的等差数列，S₆=60，且a₁，a₆，a₂₁成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N₊），且b₁=3，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组可得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入b_n+1-b_n=a_n，然后利用累加法求数列{b_n}的通项公式．

解答 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}6{a_1}+15d=60\\{a_1}（{{a_1}+20d}）={（{{a_1}+5d}）^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}d=2\\{a_1}=5\end{array}\right.$．
∴a_n=2n+3；
（Ⅱ）由b_n+1-b_n=a_n，
得当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a_n-1+a_n-2+…a₁+b₁=（n-1）（n-1+4）+3=n（n+2）．
当n=1时，b₁=3适合上式，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=n（n+2）．

点评 本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．