Question

18．已知函数f（x）=（x+a）e^x（x＞-3），其中a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点A（0，a）处的切线l与直线y=|2a-2|x平行，求l的方程；
（2）讨论函数y=f（x）．

Answer 1

分析 （1）求导数，求出z，再求l的方程；
（2）求导数，分类讨论，即可讨论函数y=f（x）的单调性．．

解答 解：（1）∵f'（x）=（x+a+1）e^x，…（1分）
∵f'（0）=a+1=|2a-2|，∴a=3或$\frac{1}{3}$…（3分）
当a=3时，f（x）=（x+3）e^x，f（0）=3，∴l的方程为：y=4x+3…（5分）
当$a=\frac{1}{3}$时，$f（x）=（{x+\frac{1}{3}}）{e^x}，f（0）=\frac{1}{3}$，∴l的方程为：$y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$…（7分）
（2）令f'（x）=（x+a+1）e^x=0得x=-a-1，
当-a-1≤-3，即a≥2时，f'（x）=（x+a+1）e^x＞0，f（x）在（-3，+∞）上递增…（9分）
当-a-1＞-3即a＜2时，令f'（x）＞0得x＞-a-1，f（x）递增；令f'（x）＜0得-3＜x＜-a-1，f（x）递减，
综上所述，当a＜2时，f（x）的增区间为（-a-1，+∞），减区间为（-3，-a-1）；
当a≥2时，f（x）在（-3，+∞）上递增，…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义、单调性，体现分类讨论的数学思想，属于中档题．