Question

8．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BC⊥AB，BC⊥PA，由此能证明BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）延长BA，CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH，则∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角，由此能求出面PCD与面PAB所成二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，∠DAB=90°，
PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．
∴BC∥AD且∠DAB=90°，BC⊥AB，
又PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA，
而PA∩PB=A，∴BC⊥平面PAB…（4分）
（Ⅱ）延长BA，CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH，
由（Ⅰ）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ，
∴AD⊥PQ且AH⊥PQ，
∴PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD．
∴∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角．…（6分）
由题意得$AQ=\frac{3}{2}$，$PQ=\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$，∴$AH=\frac{AQ•PA}{PQ}=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$，
∴$tan∠AHD=\frac{AD}{AH}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，∴cos∠AHD=$\frac{3\sqrt{14}}{14}$．
∴面PCD与面PAB所成二面角的余弦值为$\frac{{3\sqrt{14}}}{14}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．