Question

3．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A（3，y）作准线l作垂线，垂直为B，若|AB|=|BF|，则抛物线的标准方程是（　　）

• A． y²=$\frac{1}{2}$x
• B． y²=x
• C． y²=2x
• D． y²=4x

Answer 1

分析 根据抛物线的基本概念与正三角形的性质，利用解直角三角形算出|BF|=2p，由AB⊥y轴，可得3+$\frac{p}{2}$=2p，求出p，即可求出抛物线的标准方程．

解答 解：由题意，△ABF为等边三角形，设直线l交x轴于点C，
∵AB⊥l，l⊥x轴，
∴AB∥x轴，可得∠BFC=∠ABF=60°，
Rt△BCF中，|CF|=|BF|cos60°=p，解得|BF|=2p，
由AB⊥y轴，可得3+$\frac{p}{2}$=2p，
∴p=2，
∴抛物线的标准方程是y²=4x．
故选：D．

点评 本题给出抛物线中的正三角形满足的条件，求抛物线的标准方程，着重考查了抛物线的基本概念、正三角形的性质与解直角三角形等知识，属于中档题．