Question

12．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的模长都为1，且＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=120°，若正数λ，μ满足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，则λ+μ的最大值为2；

Answer 1

分析 根据题意将已知的等式转化为向量的数量积运算，由向量的数量积运算、完全平方公式化简，再由基本不等式列出关于“λ+μ”的不等式，即可求出λ+μ的最大值．

解答 解：∵＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=120°，正数λ，μ满足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，
且向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的模长都为1，
∴${\overrightarrow{OC}}^{2}=（λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}）^{2}$=${λ}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+2λμ\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+{μ}^{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}$
则1=λ²-λμ+μ²=（λ+μ）²-3λμ，
即3λμ=（λ+μ）²-1，
∵λ＞0，μ＞0，∴$λμ≤（\frac{λ+μ}{2}）^{2}$，当且仅当λ=μ时取等号，
代入上式可得，${（λ+μ）}^{2}-1≤3{（\frac{λ+μ}{2}）}^{2}$，
化简可得，（λ+μ）²≤4，则0＜λ+μ≤2，
∴λ+μ的最大值是2，
故答案为：2．

点评 本题考查了向量的数量积运算，以及基本不等式在求最值中的应用，考查转化思想，化简、变形能力．