Question

16．（1）已知命题p：关于x的方程x²-ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x²+ax+4在[3，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围；
（2）已知命题p：（4x-3）²≤1；命题q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，则p、q两命题一真一假，进而可得实数a的取值范围；
（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）若p：关于x的方程x²-ax+4=0有实根为真，
则△=a²-16≥0，
解得：a≤-4或a≥4．
若q关于x的函数y=2x²+ax+4在[3，+∞）上是增函数为真，
则-$\frac{a}{4}≤3$，
∴a≥-12．
由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，p、q两命题一真一假，
当p真q假时：a＜-12；当p假q真时：-4＜a＜4，
综上，a的取值范围为（-∞，-12）∪（-4，4）．
（2）解（4x-3）²≤1得：$\frac{1}{2}$≤x≤1，
解x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0得：a≤x≤a+1，
若￢p是￢q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件，
则$\left\{\begin{array}{l}a≤\frac{1}{2}\\ a+1≥1\end{array}\right.$，解得：a∈[0，$\frac{1}{2}$]

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，充要条件，方程根的个数，函数的单调性等知识点，难度中档．