Question

1．已知以点C为圆心的圆经过点A（0，1）和B（4，3），且圆心在直线3x+y-15=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出圆的一般方程，利用待定系数法求圆C的方程；
（Ⅱ）求出|AB|，P到AB距离的最大值为d+r，即可求△PAB的面积的最大值

解答 解：（Ⅰ）设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
依题意得；$\left\{\begin{array}{l}1-E+F=0\\ 25+4D+3E+F=0\\ 3（-\frac{D}{2}）-（-\frac{E}{2}）-15=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}D=-12\\ E=6\\ F=5\end{array}\right.$，
∴所求圆的方程是x²+y²-12x+6y+5=0，
（Ⅱ）∵|AB|=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
由已知知直线AB的方程为x-y-1=0，
所以圆心C（6，-3）到AB的距离为d=4$\sqrt{2}$，…（9分）
P到AB距离的最大值为d+r=4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{10}$，…（11分）
所以△PAB面积的最大值为$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{2}$×（4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{10}$）=$16+8\sqrt{5}$…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查三角形面积的计算，考查系数分析解决问题的能力，难度中档．