Question

11．如图，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，AD=2BC=2，BC⊥DC，∠BAD=60°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，△PAD为正三角形，M是棱PC上的一点（异于端点）．
（Ⅰ）若M为PC中点，求证：PA∥平面BME；
（Ⅱ）是否存在点M，使二面角M-BE-D的大小为30°．若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC交BE与点F，连接CE，推导出四边形ABCE为平行四边形，从而MF∥PA，由此能证明PA∥平面BME．
（Ⅱ）连接PE，以E为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点M满足条件，且M为棱PC上靠近端点C的四等分点．

解答 证明：（Ⅰ）如图，连接AC交BE与点F，连接CE，
由题意知BC∥AE且BC=AE，故四边形ABCE为平行四边形，
∴F为AC中点，
∴在△PAC中，又由M为PC中点有：MF∥PA，
又MF⊆面BME，PA?面BME，
∴PA∥平面BME．
解：（Ⅱ）连接PE，则由题意知PE⊥平面ABCD，
故以E为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则$E（{0，0，0}），P（{0，0，\sqrt{3}}），B（{\sqrt{3}，0，0}），C（{\sqrt{3}，-1，0}）$，
设$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PC}=（{0＜λ＜1}）$，则$M（{\sqrt{3}λ，-λ，（{1-λ}）\sqrt{3}}）$，
∴$\overrightarrow{EM}=（{\sqrt{3}λ，-λ，（{1-λ}）\sqrt{3}}），\overrightarrow{EB}=（{\sqrt{3}，0，0}）$，
记平面DBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），平面BME的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=\sqrt{3}λx-λy+（1-λ）\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=\sqrt{3}x=0}\end{array}\right.$，有$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}λx-λy+（{1-λ}）\sqrt{3}z=0\\ \sqrt{3}x=0\end{array}\right.$
令$y=\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{3}$，$\frac{λ}{1-λ}$），
又由二面角M-BE-D的大小为30°，得$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|\frac{λ}{1-λ}|}{\sqrt{3+（\frac{λ}{1-λ}）^{2}}}$=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得$λ=\frac{3}{4}$，∴$M=（{\frac{{3\sqrt{3}}}{4}，-\frac{3}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}}）$
故存在点M满足，且M为棱PC上靠近端点C的四等分点．

点评 本题考查线面平行的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．