Question

15．已知函数g（x）=xe^（2-a）x（a∈R），e为自然对数的底数．
（1）讨论g（x）的单调性；
（2）若函数f（x）=lng（x）-ax²的图象与直线y=m（m∈R）交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明：f'（x₀）＜0．（f'（x）为函数f（x）的导函数）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）利用函数零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，构造函数，利用导数进行转化即可证明不等式．

解答 解：（1）由题可知，g'（x）=e^（2-a）x+xe^（2-a）x（2-a）=e^（2-a）x[（2-a）x+1]．
①当a＜2时，令g'（x）≥0，则（2-a）x+1≥0，∴$x≥\frac{1}{a-2}$，令g'（x）＜0，则（2-a）x+1＜0，∴$x＜\frac{1}{a-2}$．
②当a=2时，g'（x）＞0．
③当a＞2时，令g'（x）≥0，则（2-a）x+1≥0，∴$x≤\frac{1}{a-2}$，令g'（x）＜0，则（2-a）x+1＜0，∴$x＞\frac{1}{a-2}$，
综上，①当a＜2时，y=g（x）在$（{-∞，\frac{1}{a-2}}）$上单调递减，在$[{\frac{1}{a-2}，+∞}）$上单调递增；
②当a=2时，y=g（x）在R上单调递增；
③当a＞2时，y=g（x）在$（{-∞，\frac{1}{a-2}}）$上单调递增，在$[{\frac{1}{a-2}，+∞}）$上单调递减．
（2）因为f（x）=ln（xe^（2-a）x）-ax²=lnx+（2-a）x-ax²（x＞0），
所以$f'（x）=\frac{1}{x}+（{2-a}）-2ax=-\frac{{（{2x+1}）（{ax-1}）}}{x}$，
当a≤0时，f'（x）＞0，y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，与x轴不可能有两个交点，故a＞0．
当a＞0时，令f'（x）≥0，则$0＜x≤\frac{1}{a}$；令f'（x）＜0，则$x＞\frac{1}{a}$．
故y=f（x）在$（{0，\frac{1}{a}}]$上单调递增，在$（{\frac{1}{a}，+∞}）$上单调递减．
不妨设A（x₁，m），B（x₂，m），且$0＜{x_1}＜\frac{1}{a}＜{x_2}$．
要证f'（x₀）＜0，需证ax₀-1＞0，即证${x_0}＞\frac{1}{a}⇒{x_1}+{x_2}＞\frac{2}{a}⇒{x_2}＞\frac{2}{a}-{x_1}⇒f（{x_2}）＜f（{\frac{2}{a}-{x_1}}）$，
又f（x₁）=f（x₂），
所以只需证$f（{x_1}）＜f（{\frac{2}{a}-{x_1}}）$．即证：当$0＜x＜\frac{1}{a}$时，$f（{\frac{2}{a}-x}）-f（x）＞0$．
设$F（x）=f（{\frac{2}{a}-x}）-f（x）=ln（{2-ax}）-ln（{ax}）+2ax-2$，
则$F'（x）=-\frac{2}{2-ax}-\frac{1}{x}+2a=-\frac{{2{{（{ax-1}）}^2}}}{{x（{2-ax}）}}＜0$，
所以$F（x）=f（{\frac{2}{a}-x}）-f（x）$在$（{0，\frac{1}{a}}）$上单调递减，
又$F（{\frac{1}{a}}）=f（{\frac{2}{a}-\frac{1}{a}}）-f（{\frac{1}{a}}）=0$，
故$F（x）=f（{\frac{2}{a}-x}）-f（x）＞0$．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系和应用，综合性较强，运算量较大，属于中档题．