Question

4．如图，有一块半径为2的半圆形空地，计划绿化成等腰梯形ABCD形状的草坪，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，设草坪ABCD的周长为y．
（1）若CD=2，求草坪ABCD的面积；
（2）若CD=x，写出y关于x的函数解析式，并求出它的定义域；
（3）当CD为何值时，y的值最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）连接圆心O与D，C可得OC，OD，利用勾股定理求出DE即等腰梯形ABCD的高，利用梯形面积公式可得答案．
（2）同理（1）可得y关于x的函数解析式，
（3）根据（2）中的解析式，利用二次函数的性质，配方求解其最大值．

解答 解：（1）连接圆心O与D，C，CD=2，可得△ODC是等边三角形，
故得等腰梯形ABCD的高h=$\frac{\sqrt{3}}{2}CD$=$\sqrt{3}$．
∴草坪ABCD的面积；$S=\frac{1}{2}（2+4）×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$．
（2）同（1）连接圆心O与D，C
可得△ODC是等腰三角形，
故得等腰梯形ABCD的高h=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}}$，
斜边长为：$\sqrt{{h}^{2}+（\frac{4-x}{2}）^{2}}$
∴周长为y=4+x+2×$\sqrt{{h}^{2}+（\frac{4-x}{2}）^{2}}$
即y=4+x+2$\sqrt{8-2x}$
定义域为：{x|0＜x＜4}．
（3）由（2）可得y=4+x+2$\sqrt{8-2x}$，（0＜x＜4）
化简可得：y=$-（\sqrt{4-x}）^{2}+2\sqrt{2}×\sqrt{4-x}+8$=$-（\sqrt{4-x}-\sqrt{2}）^{2}+10$
∴当x=2时，y取得最大值为10．

点评 本题考查了二次函数性质的运用在实际问题的运用能力和计算能力．属于中档题．