Question

15．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＜1，f（0）=11，则不等式f（x）＞$\frac{{e}^{x}+10}{{e}^{x}}$（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）

• A． （10，+∞）
• B． （-∞，0）∪（11，+∞）
• C． （-∞，11）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

解答 解：设g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＜1，
∴f（x）+f′（x）-1＜0，
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定义域上单调递减，
∵f（x）＞$\frac{{e}^{x}+10}{{e}^{x}}$，
∴e^xf（x）-e^x＞10，
∴g（x）＞10，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=11-1=10，
∴g（x）＞g（0），
∴x＜0，
∴不等式的解集为（-∞，0）
故选：D．

点评 本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．