Question

14．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，则a₄等于（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由数列递推式可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}=1$为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式得到a_n，则a₄可求．

解答 解：由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}$，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}=1$为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=1+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{n+1}{2}$，则${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$．
∴${a}_{4}=\frac{2}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．