Question

19．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，若a_n（4+cosnπ）=n（2-cosnπ），则S₂₀=（　　）

• A． 31
• B． 122
• C． 324
• D． 484

Answer 1

分析 a_n（4+cosnπ）=n（2-cosnπ），可得：n=2k-1时，4+cosnπ=3=2-cosnπ；n=2k时，4+cosnπ=5，2-cosnπ=1，a_2k-1=2k-1=n；a_2k=$\frac{2k}{5}$=$\frac{n}{5}$．（k∈N^*）．

解答 解：∵a_n（4+cosnπ）=n（2-cosnπ），
∵n=2k-1时，4+cosnπ=3=2-cosnπ；n=2k时，4+cosnπ=5，2-cosnπ=1．
a_2k-1=2k-1=n；a_2k=$\frac{2k}{5}$=$\frac{n}{5}$．
∴a₁=1，a₂=$\frac{2}{5}$，a₃=3，a₄=$\frac{4}{5}$，a₅=5，…．
∴S₂₀=（1+3+…+19）+$（\frac{2}{5}+\frac{4}{5}+…+\frac{20}{5}）$
=$\frac{10×（1+19）}{2}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{10×（2+20）}{2}$
=122．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．