Question

11．对于等差数列{a_n}有如下命题：“若{a_n}是等差数列，a₁=0，s、t是互不相等的正整数，则有（s-1）a_t-（t-1）a_s=0”．类比此命题，给出等比数列{b_n}相应的一个正确命题是：“若{b_n}是等比数列，b₁=1，s、t是互不相等的正整数，则有$\frac{{{b}_{t}}^{s-1}}{{{b}_{s}}^{t-1}}$=1”．

Answer 1

分析 仔细分析题干中给出的不等式的结论“若{a_n}是等差数列，且a₁=0，s、t是互不相等的正整数，则（s-1）a_t-（t-1）a_s=0”的规律，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此等比数列类比到等差数列的$\frac{{{b}_{t}}^{s-1}}{{{b}_{s}}^{t-1}}$=1成立．

解答 解：等差数列中的b_n和a_m可以类比等比数列中的bⁿ和a^m，
等差数列中的（s-1）a_t可以类比等比数列中的a_t ^s-1，
等差数列中的“差”可以类比等比数列中的“商”．
等差数列中的“a₁=0”可以类比等比数列中的“b₁=1”．
故$\frac{{{b}_{t}}^{s-1}}{{{b}_{s}}^{t-1}}$=1．
故答案为：$\frac{{{b}_{t}}^{s-1}}{{{b}_{s}}^{t-1}}$=1．

点评 本题主要考查等差数列类比到等比数列的类比推理，类比推理一般步骤：①找出等差数列、等比数列之间的相似性或者一致性．②用等差数列的性质去推测物等比数列的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．