Question

16．已知函数f（x）=lg（mx²+mx+1），若此函数的定义域为R，则实数m的取值范围是[0，4）；若此函数的值域为R，则实数m的取值范围是[4，+∞）．

Answer 1

分析 （1）由题意知mx²+mx+1＞0在R上恒成立，因二次项的系数是参数，所以分m=0和m≠0两种情况，再利用二次函数的性质即开口方向和判别式的符号，列出式子求解，最后把这两种结果并在一起；
（2）根据函数的值域为R，则对数的真数式的取值范围包含（0，+∞），由此可得m满足的条件．

解答 解：（1）∵函数f（x）=lg（mx²+mx+1）的定义域为R，
∴mx²+mx+1＞0在R上恒成立，
①当m=0时，有1＞0在R上恒成立，故符合条件；
②当m≠0时，由$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△{=m}^{2}-4m＜0}\end{array}\right.$，
解得0＜m＜4，
综上，实数m的取值范围是[0，4）．
（2）令g（x）=mx²+mx+1的值域为A，
∵函数f（x）=lg（mx²+mx+1）的值域为R，
∴（0，+∞）?A，
当m=0时，g（x）=1值域不是为R，不满足条件；
当m≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{{m}^{2}-4m≥0}\end{array}\right.$，解得：m≥4，
故答案为：[0，4），[4，+∞）．

点评 本题考查的知识点是对数函数的定义域、值域与最值，二次函数的图象和性质，难度中档．