Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知$asinB=\sqrt{3}bcosA$．
（1）求角A的大小；
（2）若$a=\sqrt{7}，b=2$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由弦定理化简已知可得$sinAsinB=\sqrt{3}sinBcosA$，结合sinB≠0，可求$tanA=\sqrt{3}$，结合范围0＜A＜π，可求A的值．
（2）解法一：由余弦定理整理可得：c²-2c-3=0．即可解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．
解法二：由正弦定理可求sinB的值，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵$asinB=\sqrt{3}bcosA$，由正弦定理得$sinAsinB=\sqrt{3}sinBcosA$．…（3分）
又sinB≠0，
从而$tanA=\sqrt{3}$．…（5分）
由于0＜A＜π，
所以$A=\frac{π}{3}$．…（7分）
（2）解法一：由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，而$a=\sqrt{7}，b=2，A=\frac{π}{3}$，…（9分）
得7=4+c²-2c=13，即c²-2c-3=0．
因为c＞0，所以c=3．…（11分）
故△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．…（14分）
解法二：由正弦定理，得$\frac{{\sqrt{7}}}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{2}{{sin{B}}}$，
从而$sinB=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，…（9分）
又由a＞b知A＞B，
所以$cosB=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．
故$sinC=sin（{A+B}）=sin（{B+\frac{π}{3}}）=sinBcos\frac{π}{3}+cosBsin\frac{π}{3}=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$．…（12分）
所以△A BC的面积为$\frac{1}{2}bc{sinA}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．