Question

8．已知函数f（x）=ax²-2lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=e处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若x∈（0，e]，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ） 设a＞$\frac{1}{{e}^{2}}$，g（x）=-5+ln$\frac{x}{a}$，?x₁，x₂∈（0，e]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，再根据f（x）在x=e处取得极值，求出a的值，
（Ⅱ）先求导，再分类讨论，即可求出函数的单调区间．
（Ⅲ）?x₁，x₂∈（0，e]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，分别求出f（x）_min，g（x）_max，故由题设知$\left\{\begin{array}{l}{（1+lna）-（-4-lna）＜9}\\{a＞\frac{1}{{e}^{2}}}\end{array}\right.$，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ） f′（x）=2ax-$\frac{2}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-2}{x}$  由已知f′（e）=2ae-$\frac{2}{e}$=0，解得a=$\frac{1}{{e}^{2}}$．
经检验，a=$\frac{1}{{e}^{2}}$符合题意．            
（Ⅱ） $f'（x）=2ax-\frac{2}{x}=\frac{{2a{x^2}-2}}{x}$
1）当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上是减函数．
2）当a＞0时，$f'（x）=\frac{{2a（x+\frac{{\sqrt{a}}}{a}）（x-\frac{{\sqrt{a}}}{a}）}}{x}$
①若$\frac{\sqrt{a}}{a}$＜e，即$a＞\frac{1}{e^2}$，则f（x）在（0，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）上是减函数，在（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，e]上是增函数；
②若$\frac{\sqrt{a}}{a}$≥e，即0＜a≤$\frac{1}{{e}^{2}}$，则f（x）在[0，e]上是减函数．
综上所述，当a≤$\frac{1}{{e}^{2}}$时，f（x）的减区间是（0，e]，
当a＞$\frac{1}{{a}^{2}}$时，f（x）的减区间是$（0，\frac{{\sqrt{a}}}{a}）$，增区间是$（\frac{{\sqrt{a}}}{a}，e]$．
（Ⅲ）当$a＞\frac{1}{e^2}$时，由（Ⅱ）知f（x）的最小值是f（$\frac{\sqrt{a}}{a}$）=1+lna；
易知g（x）在（0，e]上的最大值是g（e）=-4-lna；
注意到（1+lna）-（-4-lna）=5+2lna＞0，
故由题设知$\left\{\begin{array}{l}{（1+lna）-（-4-lna）＜9}\\{a＞\frac{1}{{e}^{2}}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{{e}^{2}}$＜a＜e²．
故a的取值范围是（$\frac{1}{{e}^{2}}$，e²）

点评 本题考查学生会利用导求函数的最值，会利用导数研究函数的单调性，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．