Question

20．已知点F为抛物线y=-$\frac{1}{8}{（{x-4}）^2}$的焦点，E为抛物线的顶点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PE|的最小值为（　　）

• A． 6
• B． $2+4\sqrt{2}$
• C． $4+2\sqrt{5}$
• D． $2\sqrt{13}$

Answer 1

分析 利用抛物线的定义由|AF|=4得到A到准线的距离为4，即可求出点A的坐标，根据：“|PA|+|PE|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值．

解答 解：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，
∴A到准线的距离为4，即A点的纵坐标为-2，
又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（8，-2）；
E关于准线的对称点的坐标为B（0，4）
则|PA|+|PE|的最小值为：
|AB|=$\sqrt{（4+2）^{2}+（0-4）^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
故选D．

点评 此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题．