Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}m{（x-1）^2}$-2x+3+lnx，m∈R
（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；
（2）求出f（x）导数，求得切线的斜率和切点，可得切线方程，由题意可得关于x的方程$\frac{1}{2}m{（{x-1}）^2}-2x+3+lnx=-x+2$有且只有一个解，即$\frac{1}{2}m{（{x-1}）^2}-x+1+lnx=0$有且只有一个解．令$g（x）=\frac{1}{2}m{（{x-1}）^2}-x+1+lnx（{x＞0}）$，求出导数，对m讨论，求出单调区间，运用单调性即可得到m的范围．

解答 （1）由题意知，f（x）=-2x+3+lnx，
所以$f'（x）=-2+\frac{1}{x}=\frac{-2x+1}{x}（{x＞0}）$．…（2分）
令f'（x）＞0得$x∈（{0，\frac{1}{2}}）$，所以函数f（x）的单调增区间是$（{0，\frac{1}{2}}）$．…（4分）
（2）由$f'（x）=mx-m-2+\frac{1}{x}$，得f'（1）=-1，又f（1）=1，
所以曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程为y=-x+2，…（6分）
因为l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，
即关于x的方程$\frac{1}{2}m{（{x-1}）^2}-2x+3+lnx=-x+2$有且只有一个解，
即$\frac{1}{2}m{（{x-1}）^2}-x+1+lnx=0$有且只有一个解．…（8分）
令$g（x）=\frac{1}{2}m{（{x-1}）^2}-x+1+lnx（{x＞0}）$，
则$g'（x）=m（{x-1}）-1+\frac{1}{x}=\frac{{m{x^2}-（{m+1}）x+1}}{x}=\frac{{（{x-1}）（{mx-1}）}}{x}（{x＞0}）$．…（10分）
①m≤0时，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0，得x＞1，
所以函数g（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
又g（1）=0，故m≤0符合题意；…（11分）
②当0＜m＜1时，由g'（x）＞0，得0＜x＜1或$x＞\frac{1}{m}$，由g'（x）＜0，得$1＜x＜\frac{1}{m}$，
所以函数g（x）在（0，1）上为增函数，在$（1，\frac{1}{m}）$上为减函数，在$（\frac{1}{m}，+∞）$上为增函数，
又g（1）=0，且当x→∞时，g（x）→∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，
故0＜m＜1不合题意；…（12分）
③当m=1时，g'（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上为增函数，且g（1）=0，
故m=1符合题意；…（13分）
④当m＞1，由g'（x）＞0，得$0＜x＜\frac{1}{m}$或x＞1，由g'（x）＜0，得$\frac{1}{m}＜x＜1$，
所以函数g（x）在$（0，\frac{1}{m}）$上为增函数，在$（\frac{1}{m}，1）$上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→-∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，
故m＞1不合题意；…（14分）
综上，实数m的取值范围m≤0或m=1． …（16分）

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，以及运算能力，属于难题．