Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=$\frac{2}{3}$ 且 $\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$（n≥2），则a₁₅等于（　　）

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{1}{7}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{8}{15}$

Answer 1

分析 由 $\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$（n≥2），可知：数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：由 $\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$（n≥2），可知：数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，
首项为1，公差为：$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，解得a_n=$\frac{2}{n+1}$．
∴a₁₅=$\frac{2}{16}$=$\frac{1}{8}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．