Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3，数列{b_n}中，b₁=1，且点（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；     
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n+1=2a_n+3得a_n+1+3=2（a_n+3），由此能求出a_n．
（Ⅱ）因为（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上，所以b_n=b_n+1-1即b_n+1-b_n=1，由此能求出b_n．
（Ⅲ）根据等差数列的前n项和公式进行解答．

解答 解：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+3得a_n+1+3=2（a_n+3）
所以{a_n+3}是首项为a₁+3=4，公比为2的等比数列．
所以a_n+3=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，故a_n=2ⁿ⁺¹-3；
（Ⅱ）因为（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上，
所以b_n=b_n+1-1即b_n+1-b_n=1又b₁=1
故数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以b_n=n；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以S_n=1×n+$\frac{1}{2}$n（n-1）=$\frac{1}{2}$n（n+1）．

点评 本题考查数列的通项公式的计算和等差数列的前n项和公式的应用，难度不大，考查计算能力．解题时要认真审题．