Question

9．设S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足${S_n}={（{-1}）^n}{a_n}-\frac{1}{2^n}$，则a₂=$\frac{1}{4}$；S₁+S₃+S₅+…+S₂₀₁₇=$\frac{1}{3}（\frac{1}{{2}^{2018}}-1）$．

Answer 1

分析 由${S_n}={（{-1}）^n}{a_n}-\frac{1}{2^n}$，当n=1时，可得a₁=-a₁-$\frac{1}{2}$，可得a₁=-$\frac{1}{4}$．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，a₃=-a₃-$\frac{1}{8}$+a₂+$\frac{1}{4}$．若n为偶数，则a_n-1=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，因此n为正奇数，a_n=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，可得a₃=-$\frac{1}{16}$，a₂．n=2k-1（k∈N^*），S_n=S_2k-1=-a_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$．可得S₁+S₃+S₅+…+S₂₀₁₇=-（a₁+a₃+…+a₂₀₁₇）-$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2017}}）$，代入利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：由${S_n}={（{-1}）^n}{a_n}-\frac{1}{2^n}$，当n=1时，可得a₁=-a₁-$\frac{1}{2}$，可得a₁=-$\frac{1}{4}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，a₃=-a₃-$\frac{1}{8}$+a₂+$\frac{1}{4}$．
若n为偶数，则a_n-1=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，因此n为正奇数，a_n=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，可得a₃=-$\frac{1}{16}$，a₂=$\frac{1}{4}$．
n=2k-1（k∈N^*），S_n=S_2k-1=-a_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S₁+S₃+S₅+…+S₂₀₁₇=-（a₁+a₃+…+a₂₀₁₇）-$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2017}}）$
=$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{2018}}）$-$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2017}}）$
=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{1009}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{1009}}）}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{{2}^{2018}}-1）$．
故答案为：$\frac{1}{4}，\frac{1}{3}（{\frac{1}{{{2^{2018}}}}-1}）$．

点评 本题考查了等比数列通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．