Question

8．${（{1+x+\frac{1}{x}}）^6}$的展开式中常数项为141．

Answer 1

分析 由${（{1+x+\frac{1}{x}}）^6}$=${[{1+（{x+\frac{1}{x}}）}]^6}$，两次展开二项式，逐一分析得答案．

解答 解：将原式看做${[{1+（{x+\frac{1}{x}}）}]^6}$，
由二项式定理可得展开式的通项为${T_{r+1}}=C_6^r•{1^{6-r}}•{（{x+\frac{1}{x}}）^r}$．
又${（{x+\frac{1}{x}}）^r}$的展开式通项为${T_{m+1}}=C_r^m•{x^{r-m}}•{（{{x^{-1}}}）^m}=C_r^m•{x^{r-2m}}$，
则取常数项时r=2m，由题可知r∈{0，1，2，3，4，5，6}，m∈{0，1，2，3，4，5，6}，
则m的可能取值为0，1，2，3，对应的r分别为0，2，4，6．
m=0，r=0时，常数项为1；
m=1，r=2时，常数项为30；
m=2，r=4时，常数项为90；
m=3，r=6时，常数项为20；
∴原式常数项为1+30+90+20=141，
故答案为：141．

点评 利用已知的二项式定理，将多项式合理组合，变形为二项式，进而再用公式逐步分析，是中档题．