Question

已知曲线y=f（x）=2x³+4．
（1）求曲线在点P（-1，2）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（-1，2）的切线方程；
（3）求斜率为24的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）设出切点，求出切线的斜率，由两点的斜率公式得到方程，结合切点在曲线上，解方程，即可得到切点，从而得到切线方程；
（3）设出切点，令导数为24，求出切点，由点斜式方程即可得到切线方程．

解答： 解：（1）y=2x³+4的导数y′=6x²，则切线的斜率为6，则切线方程为：y-2=6（x+1），即为y=6x+8；
（2）令切点（m，n），则切线的斜率为6m²，由两点的斜率公式得

n-2

m+1

=6m²，①
又n=2m³+4②，由①②解得，m=-1或

1

2

，
则切线的斜率为6或

3

2

，即切线方程为y=6x+8或y-2=

3

2

（x+1），
故所求的切线方程为：y=6x+8或y=

3

2

x+

7

2

；
（3）y=2x³+4的导数y′=6x²，令y′=24，则x=±2，
将x=2代入曲线方程，得y=20；将x=-2代入曲线方程，得y=-12．
即切点为（2，20），或（-2，-12）．
则切线方程为：y-20=24（x-2）或y+12=24（x+2），
即有y=24x-28或y=24x+36．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，注意过某点和在某点处的切线，考查运算能力，本题属于中档题．