Question

5．S_n为数列{a_n}的前n项和，己知a_n＞0，a_n²+2a_n=4S_n+3
（I）求{a_n}的通项公式：
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a_n}的通项公式：
（Ⅱ）求出b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，利用裂项法即可求数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（I）由a_n²+2a_n=4S_n+3，可知a_n+1²+2a_n+1=4S_n+1+3
两式相减得a_n+1²-a_n²+2（a_n+1-a_n）=4a_n+1，
即2（a_n+1+a_n）=a_n+1²-a_n²=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，
∵a₁²+2a₁=4a₁+3，
∴a₁=-1（舍）或a₁=3，
则{a_n}是首项为3，公差d=2的等差数列，
∴{a_n}的通项公式a_n=3+2（n-1）=2n+1：
（Ⅱ）∵a_n=2n+1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$$+\frac{1}{5}$$-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{n}{3（2n+3）}$．

点评 本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．