Question

15．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC₁的中点，
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若直线A₁C与平面A₁ABB₁所成的角为45°，求三棱锥F-AEC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AE⊥BB₁，AE⊥BC，BC∩BB₁=B，推出AE⊥平面B₁BCC₁，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）取AB的中点G，说明直线A₁C与平面A₁ABB₁所成的角为45°，就是∠CA₁G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB₁⊥底面ABC，AE?底面ABC，∴AE⊥BB₁，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，
∴AE⊥BC，BC∩BB₁=B，∴AE⊥平面B₁BCC₁，
∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A₁G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A₁ABB₁，
直线A₁C与平面A₁ABB₁所成的角为45°，就是∠CA₁G，则A₁G=CG=$\sqrt{3}$，
∴AA₁=$\sqrt{{A}_{1}{G}^{2}-{AG}^{2}}$=$\sqrt{2}$，CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
三棱锥F-AEC的体积：$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×CE•AE•CF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．

点评 本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．