Question

10．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=$\frac{新工件的体积}{原工件的体积}$）（　　）

• A． $\frac{8}{9π}$
• B． $\frac{8}{27π}$
• C． $\frac{24（\sqrt{2}-1）^{3}}{π}$
• D． $\frac{8（\sqrt{2}-1）^{3}}{π}$

Answer 1

分析 由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求．

解答 解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，所以圆锥的高为2$\sqrt{2}$，圆锥是体积为$\frac{1}{3}π×2\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}π}{3}$；
其内接正方体的棱长为x，则$\frac{\sqrt{2}x}{2}=\frac{2\sqrt{2}-x}{2\sqrt{2}}$，解得x=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以正方体的体积为$（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{3}=\frac{16\sqrt{2}}{27}$，
所以原工件材料的利用率为：$\frac{新工件的体积}{原工件的体积}$=$\frac{8}{9π}$；
故选：A．

点评 本题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确还原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题．