Question

18．如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．
（1）证明：BC∥平面PDA；
（2）证明：BC⊥PD；
（3）求点C 到平面PDA的距离．

Answer 1

分析 （1）利用四边形ABCD是长方形，可得BC∥AD，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；
（2）利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD；
（3）利用等体积法，求点C到平面PDA的距离．

解答 （1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，
因为BC?平面PDA，AD?平面PDA，所以BC∥平面PDA；
（2）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC?面ABCD，
所以BC⊥平面PDC，
因为PD?平面PDC，
所以BC⊥PD；
（3）解：取CD的中点E，连接AE和PE，
因为PD=PC，所以PE⊥CD，
在Rt△PED中，PE=$\sqrt{P{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE?平面PDC，
所以PE⊥平面ABCD．
由（2）知：BC⊥平面PDC，
由（1）知：BC∥AD，
所以AD⊥平面PDC，
因为PD?平面PDC，所以AD⊥PD．
设点C到平面PDA的距离为h．
因为V_C-PDA=V_P-ACD，
所以$\frac{1}{3}{S}_{△PDA}h=\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PE$，
所以h=$\frac{\frac{1}{2}×3×6×\sqrt{7}}{\frac{1}{2}×3×4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
所以点C到平面PDA的距离是$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的性质，线面垂直与线线垂直的判定，考查三棱锥体积等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．