Question

2．如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．

解答 解：当0≤x≤$\frac{π}{4}$时，BP=tanx，AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{4+ta{n}^{2}x}$，
此时f（x）=$\sqrt{4+ta{n}^{2}x}$+tanx，0≤x≤$\frac{π}{4}$，此时单调递增，
当P在CD边上运动时，$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{3π}{4}$且x≠$\frac{π}{2}$时，
如图所示，tan∠POB=tan（π-∠POQ）=tanx=-tan∠POQ=-$\frac{PQ}{OQ}$=-$\frac{1}{OQ}$，
∴OQ=-$\frac{1}{tanx}$，
∴PD=AO-OQ=1+$\frac{1}{tanx}$，PC=BO+OQ=1-$\frac{1}{tanx}$，
∴PA+PB=$\sqrt{（1-\frac{1}{tanx}）^{2}+1}+\sqrt{（1+\frac{1}{tanx}）^{2}+1}$，
当x=$\frac{π}{2}$时，PA+PB=2$\sqrt{2}$，
当P在AD边上运动时，$\frac{3π}{4}$≤x≤π，PA+PB=$\sqrt{4+ta{n}^{2}x}$-tanx，
由对称性可知函数f（x）关于x=$\frac{π}{2}$对称，
且f（$\frac{π}{4}$）＞f（$\frac{π}{2}$），且轨迹为非线型，
排除A，C，D，
故选：B．

点评 本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤$\frac{π}{4}$时的解析式是解决本题的关键．