Question

11．已知F是双曲线C：x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6$\sqrt{6}$）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为12$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用双曲线的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF周长最小时，该三角形的面积．

解答 解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2
≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），
直线AF′的方程为$\frac{x}{-3}+\frac{y}{6\sqrt{6}}=1$与x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1联立可得y²+6$\sqrt{6}$y-96=0，
∴P的纵坐标为2$\sqrt{6}$，
∴△APF周长最小时，该三角形的面积为$\frac{1}{2}×6×6\sqrt{6}$-$\frac{1}{2}×6×2\sqrt{6}$=12$\sqrt{6}$．
故答案为：12$\sqrt{6}$．

点评 本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键．