Question

设曲线C的方程是y，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C₁；（1）写出曲线C₁的方程；（2）证明曲线C与C₁关于点对称；（3）如果曲线C与C₁有且仅有一个公共点，证明 且 ．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)C1的方程是y． (2) 证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）.设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，则有 ，    . 所以  x1=t－x2，    y1=s－y2. 代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：s－y2=（t－x2）3－（t－x2）， 即        y2=（x2－t）3－（x2－t）+ s， 可知点B2（x2，y2）在曲线C1上. 反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上. 因此，曲线C与C1关于点A对称.  (3) 解法一： 由于曲线C和C1关于点对称，且C和有且仅有一个公共点，因此，这个公共点就是这个对称中心A，即点A在曲线C上（也在曲线C1上），故点A坐标满足曲线C（或C1）的方程：         整理，得 若t＝0，则s＝0，C与C1重合，与题设C1由C平移所得相矛盾，故  t ≠0． 解法二： 方程组有且仅有一组解消去y，整理得这个关于t的一元二次方程有且仅有一个根，因此0，且判别式．由此可得且．

提示：