Question

6．试求函数$f（x）={log_2}\frac{1+x}{1-x}$的定义域，然后判断函数的奇偶性，并以一定的理由说明该函数在定义域的单调性．

Answer 1

分析 容易求出f（x）的定义域为（-1，1），并且可以得到$f（-x）=-lo{g}_{2}\frac{1+x}{1-x}=-f（x）$，这便得出f（x）为奇函数，而分离常数得到$f（x）=lo{g}_{2}（-1-\frac{2}{x-1}）$，该函数为复合函数，从而根据反比例函数、对数函数，及复合函数的单调性即可判断f（x）在定义域上的单调性．

解答 解：解$\frac{1+x}{1-x}$＞0得，-1＜x＜1；
∴f （x）的定义域为（-1，1），它关于原点对称，且$f（-x）={log_2}\frac{1-x}{1+x}={log_2}{（\frac{1+x}{1-x}）^{-1}}=-{log_2}\frac{1+x}{1-x}=-f（x）$；
∴f（x）是奇函数；
$f（x）={log_2}（-1-\frac{2}{x-1}）$，∵$g（x）=-1-\frac{2}{x-1}$在（-1，1）上是增函数；
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．

点评 考查函数定义域的概念及求法，分数不等式的解法，函数奇偶性的定义及判断奇偶性的方法和过程，对数的运算性质，以及复合函数的定义，复合函数单调性的判断，反比例函数和对数函数的单调性．