Question

19．若2cos2α=sin（α-$\frac{π}{4}$），且α∈（$\frac{π}{2}$，π），则cos2α的值为（　　）

• A． -$\frac{7}{8}$
• B． -$\frac{\sqrt{15}}{8}$
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{15}}{8}$

Answer 1

分析 法一、由已知推导出cosα+sinα=$-\frac{\sqrt{2}}{4}$，cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{30}}{4}$，解得cosα=$-\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{8}$，由此利用二倍角的余弦求得cos2α的值．
法二、利用诱导公式及倍角公式把已知变形，求出cos（$\frac{π}{4}-$α）=-$\frac{1}{4}$，由α得范围求出$\frac{π}{4}-α$的范围，进一步求得sin（$\frac{π}{4}-$α），再由倍角公式得答案．

解答 解：法一、
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），∴sinα＞0，cosα＜0，
∵2cos2α=sin（α-$\frac{π}{4}$），
∴2（cos²α-sin²α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα-cosα），
∴cosα+sinα=$-\frac{\sqrt{2}}{4}$，①
∴1+2sinαcosα=$\frac{1}{8}$，则2sinαcosα=-$\frac{7}{8}$，
（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=1+$\frac{7}{8}=\frac{15}{8}$，
∴cosα-sinα=$-\frac{\sqrt{30}}{4}$，②
联立①②，解得cosα=$-\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{8}$，
∴cos2α=2cos²α-1=2（$-\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{8}$）²-1=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
法二、
由2cos2α=sin（α-$\frac{π}{4}$），
得2sin（$\frac{π}{2}-2α$）=sin（α-$\frac{π}{4}$），
则4sin（$\frac{π}{4}-α$）cos（$\frac{π}{4}-$α）=sin（α-$\frac{π}{4}$），
∴cos（$\frac{π}{4}-$α）=-$\frac{1}{4}$，
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴$\frac{π}{4}-α$∈（$-\frac{3π}{4}，-\frac{π}{4}$），
则sin（$\frac{π}{4}-α$）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{4}-α）}=-\sqrt{1-（\frac{1}{4}）^{2}}=-\frac{\sqrt{15}}{4}$，
则cos2α=sin（$\frac{π}{2}-2α$）=2sin（$\frac{π}{4}-α$）cos（$\frac{π}{4}-$α）=2×$（-\frac{1}{4}）×（-\frac{\sqrt{15}}{4}）=\frac{\sqrt{15}}{8}$．
故选：D．

点评 本题考查三角函数值的求法，注意同角三角函数关系式、二倍角公式的合理运用，是中档题．