Question

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2sin2A+sin（2B+C）=sinC，且c=2，C=$\frac{π}{3}$．则△ABC的面积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知及三角形内角和定理，和差化积公式可得2cosAsinB=4sinAcosA，可得：cosA=0，或sinB=2sinA，
分类讨论，分别求出三角形边长，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵sinC=sin（B+A），sin（2B+C）=sin（π-A+B）=sin（A-B），
又∵2sin2A+sin（2B+C）=sinC，可得：sinC-sin（2B+C）=2sin2A，
∴sin（A+B）-sin（A-B）=2sin2A，
∴2cosAsinB=4sinAcosA，
∵A∈（0，π），可得：cosA=0，或sinB=2sinA，
∵c=2，C=$\frac{π}{3}$．
①当cosA=0时，A=$\frac{π}{2}$，B=π-A-C=$\frac{π}{6}$，由b=$\frac{c}{tanC}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}×\frac{2}{\sqrt{3}}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
②当sinB=2sinA，由正弦定理可得b=2a，由余弦定理可得：4=a²+b²-ab=a²+4a²-2a²=3a²，
解得：a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，和差化积公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．