Question

15．已知数列{a_n}满足a_n+1-2a_n=2ⁿ
（1）求证：{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是等差数列；
（2）若a₁=1，求a_n．

Answer 1

分析 （1）把已知等式两边同时除以2ⁿ，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}=1$，即数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是公差为1的等差数列；
（2）由（1）求出数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的通项公式，则a_n可求．

解答 （1）证明：由a_n+1-2a_n=2ⁿ，得
$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}=1$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是公差为1的等差数列；
（2）解：由（1）知，数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是公差为1的等差数列，
又a₁=1，∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的首项为$\frac{{a}_{1}}{{2}^{0}}=1$，
则$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=1+1×（n-1）=n，
故${a}_{n}=n•{2}^{n-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．