Question

已知函数f（x）=1n（ax+1）+

1-x

1+x

（x≥0，a为正实数）．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先对函数求导，然后根据导数的几何意义可求切线斜率k=f′（1），进而可求切线方程
（Ⅱ）先对函数求导，可得f′(x)=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

．通过讨论a-2的正负，判断导数在[0，+∞）上的符号，以判断函数的单调区间
（Ⅲ）结合（II）中函数单调区间，可求函数取得最小值的条件及最小值，从而可求a的范围

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=1n（x+1）+

1-x

1+x

则f′(x)=

1

1+x

-

2

(1+x)2

．…（2分）
所以f′（1）=0．又f（1）=ln2，因此所求的切线方程为y=ln2．…（4分）
（Ⅱ）f′(x)=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

．…（5分）
（1）当a-2≥0，即a≥2时，因为x≥0，所以f′（x）＞0，所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．…（6分）
（2）当a-2＜0，即0＜a＜2时，令f′（x）=0，则ax²+a-2=0（x≥0），所以x=

2-a a

．
因此，当x∈[0，

2-a a

）时，f′（x）＜0，当x∈（

2-a a

，+∞）时，f′（x）＞0，．
所以函数f（x）的单调递增区间为（

2-a a

，+∞），，函数f（x）的单调递减区间为[0，

2-a a

）…（10分）
（Ⅲ）当a≥2时，函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则f（x）的最小值为f（0）=1，满足题意．…（11分）
当0＜a＜2时，由（Ⅱ）知函数f（x）的单调递增区间为（

2-a a

，+∞），函数f（x）的单调递减区间为[0，

2-a a

）
则f（x）的最小值为f（

2-a a

），而f（0）=1，不合题意．
所以a的取值范围是[2，+∞）．…（13分）

点评：本题主要考查了函数的导数在切线方程求解、函数的单调区间的求解及利用单调性求解函数的最值中的应用，注意分类讨论思想的应用．