Question

2．对于集合M={a|a=x²-y²，x∈Z，y∈Z}，给出如下三个结论：其中正确结论的个数是（　　）
①如果P={b|b=2n+1，n∈Z}，那么P⊆M；
②如果c=4n+2，n∈Z，那么c∉M；
③如果a₁∈M，a₂∈M，那么a₁a₂∈M．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 0

Answer 1

分析 ①根据2n+1=（n+1）²-n²，得出2n+1∈M，即P⊆M；
②根据c=4n+2，证明4n+2∉M，即c∉M；
③根据a₁∈M，a₂∈M，证明a₁a₂∈M．

解答 解：集合M={a|a=x²-y²，x∈Z，y∈Z}，
对于①，b=2n+1，n∈Z，
则恒有2n+1=（n+1）²-n²，
∴2n+1∈M，即P={b|b=2n+1，n∈Z}，则P⊆M，①正确；
对于②，c=4n+2，n∈Z，
若4n+2∈M，则存在x，y∈Z使得x²-y²=4n+2，
∴4n+2=（x+y）（x-y），
又x+y和x-y同奇或同偶，
若x+y和x-y都是奇数，则（x+y）（x-y）为奇数，而4n+2是偶数；
若x+y和x-y都是偶数，则（x+y）（x-y）能被4整除，而4n+2不能被4整除，
∴4n+2∉M，即c∉M，②正确；
对于③，a₁∈M，a₂∈M，
可设a₁=x₁²-y₁²，a₂=x₂²-y₂²，x_i、y_i∈Z；
则a₁a₂=（x₁²-y₁²）（x₂²-y₂²）
=（x₁x₂）²+（y₁y₂）²-（x₁y₂）²-（x₂y₁）²
=（x₁x₂+y₁y₂）²-（x₁y₂+x₂y₁）²∈M
那么a₁a₂∈M，③正确．
综上，正确的命题是①②③．
故选：C．

点评 本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．