Question

14．已知定义在R上的奇函数f（x）=x³+bx²+cx+d在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及单调增区间；
（Ⅱ）证明：对于区间[-1，1]上任意两个自变量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先根据函数的奇偶性判断b，d的值，在对函数进行求导，令f'（1）=0可求出c的值，进而确定函数解析式．
（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值，然后对|f（x₁）-f（x₂）|进行放缩即可得证．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函数，
∴b=d=0，f（x）=x³+cx，
∴f'（x）=3x²+c，
∵在x=±1处取得极值，
∴f'（1）=0∴c=-3，
∴f（x）=x³-3x；
∴f′（x）=3（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
故f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）递增；
（Ⅱ）证明：∵f'（x）=3x²-3
∴令f'（x）=3x²-3=0，x=±1且-1＜x＜1时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减
∵f（x）_max=f（-1）=2，f（x）_min=f（1）=-2
|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=f（-1）-f（1）=2+2=4．

点评 本题主要考查函数的单调性、极值与导函数之间的关系．属中档题．