Question

19．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=$\frac{cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}$（t为参数），当直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程转化为ρ²sin²θ=ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程，并得到曲线C是以x轴为对称轴，开口向右的抛物线．
（2）直线l的参数方程消去参数t，得直线l的直角坐标方程为$y=\sqrt{3}x-\frac{3\sqrt{3}}{2}$，代入y²=x，得：2$\sqrt{3}$y²-2y-3$\sqrt{3}$=0，由此利用弦长公式能求出|AB|．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程是ρ=$\frac{cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$，
∴ρ²sin²θ=ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=x，
∴曲线C是以x轴为对称轴，开口向右的抛物线．
（2）∵直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}$（t为参数），
∴消去参数t，得直线l的直角坐标方程为$y=\sqrt{3}x-\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
代入y²=x，整理，得：2$\sqrt{3}$y²-2y-3$\sqrt{3}$=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，y₁y₂=-$\frac{3}{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{3}）[（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+4×\frac{3}{2}]}$=$\frac{2\sqrt{19}}{3}$．

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．