Question

4．若函数f（x）=$\frac{a+1}{2}{x^2}$-ax-lnx．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求证：x-$\frac{lnx}{x}$≥1．

Answer 1

分析 （1）$f′（x）=\frac{（a+1）x-ax-1}{x}$=$\frac{（a+1）（x+\frac{1}{a+1}）（x-1）}{x}$
按照两根$\frac{-1}{a+1}$与1的大小关系讨论，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调性，从而求得极值；
（2）由（1）得当a=1时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
即f（x）≥f（1）=0，即x²-x-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立．
可得x-$\frac{lnx}{x}$≥1成立

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{a+1}{2}{x^2}$-ax-lnx的定义域为：（0，+∞）．
①当a=-1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$．令f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）_极小值=f（1）=1，无极大值．
②当a≠-1时，$f′（x）=\frac{（a+1）x-ax-1}{x}$=$\frac{（a+1）（x+\frac{1}{a+1}）（x-1）}{x}$
令f′（x）=0，得x₁=$\frac{-1}{a+1}$，x₂=1
当a＞-1时，$\frac{-1}{a+1}$＜0，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
当a＜-1时，$\frac{-1}{a+1}$＞0，
  当-2＜a＜-1时，$\frac{-1}{a+1}＞1$，f（x）在（0，1），（$\frac{-1}{a+1}$，+∞）上单调递减，在（1，$\frac{-1}{a+1}$）上递增，
∴f（x）_极小值=f（1）=$\frac{1-a}{2}$，f（x）_极大值=f（$\frac{-1}{a+1}$）=$\frac{1+2a}{2（a+1）}+ln（-a-1）$．
  当a＜-2时，$\frac{-1}{a+1}＜1$，f（x）在（0，$\frac{-1}{a+1}$），（1，+∞）上单调递减，在（$\frac{-1}{a+1}$，1）上递增；
∴f（x）_极大值=f（1）=$\frac{1-a}{2}$，f（x）_极小值=f（$\frac{-1}{a+1}$）=$\frac{1+2a}{2（a+1）}+ln（-a-1）$．
  当a=-2时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值．
（2）由（1）得当a=1时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
∴f（x）≥f（1）=0，即x²-x-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立．
∴x-$\frac{lnx}{x}$≥1成立

点评 本题考查了导数与函数的极值、单调性，考查了分类讨论思想、转化思想，属于中档题．