Question

9．在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，$SA=\sqrt{3}，SB=2\sqrt{3}$，二面角S-AB-C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为21π．

Answer 1

分析 由题意得SA²+AB²=SB²，得到SA⊥AB，取AB中点为D，SB中点为M，得到∠CDM为S-AB-C的二面角的平面角，得到∠MDC=120°，设三角形ABC 的外心为O'，则CO'=$\sqrt{3}$=BO'，DO'=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，找出球心位置，进一步计算半径以及表面积．

解答 解：由题意得SA²+AB²=SB²，得到SA⊥AB，取AB中点为D，SB中点为M，得到∠CDM为S-AB-C的二面角的平面角，得到∠MDC=120°，设三角形ABC 的外心为O'，则CO'=$\sqrt{3}$=BO'，DO'=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
球心为过M的ABS的垂线与过O'的ABC 的垂线的交点，
在四边形MDOO'中，OO'=$\frac{3}{2}$，所以R²=OO'²+O'B²=$\frac{9}{4}+3=\frac{21}{4}$，所以球的表面积为4πR²=21π．
故答案为：21π．

点评 本题考查了几何体的外接球表面积的求法；关键是正确找出球心的位置，通过勾股定理计算半径，求得表面积．