Question

18．规定A${\;}_{x}^{m}$=x•（x-1）…（x-m+1）（其中x∈R，m∈N*），且A${\;}_{x}^{0}$=1，这是排列数A${\;}_{n}^{m}$（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求A${\;}_{1.5}^{4}$的值
（2）排列数的两个性质：①A${\;}_{n}^{m}$=nA${\;}_{n-1}^{m-1}$，②A${\;}_{n}^{m}$+mA${\;}_{n}^{m-1}$=A${\;}_{n+1}^{m}$．是否能推广到A${\;}_{x}^{m}$的情形？若能，写出推广的形式并给予证明；若不能，说明理由；
（3）求函数A${\;}_{x+1}^{3}$在区间[0，a]（a＞0，且a∈R）上的最值．

Answer 1

分析 （1）根据A_x^m=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，写出A_1.5⁴的表示式，再做出结果，做法同一般的排列数相同．
（2）首先写出推广以后的性质，A_x^m=xA_x-1^m-1，②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊），针对于这两个式子进行证明，根据排列数的意义，写出要证明的等式的左边和右边，整理后两边相等．
（3）要求函数A_x+1³的解析式，根据导数和函数的单调性的关系，得到函数的单调区间，再根据a进行分类讨论，即可求出最值．

解答 解：（1）A_1.5⁴=1.5×0.5×（-0.5）×（-1.5）=$\frac{9}{16}$；
（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①A_x^m=xA_x-1^m-1，②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）
事实上，在①中，当m=1时，左边=A_x¹=x，右边=xA_x-1⁰=x，等式成立；
当m≥2时，左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xA_x-1^m-1，
因此，①A_x^m=xA_x-1^m-1成立；
在②中，当m=1时，左边=A_x¹+A_x⁰=x+1=A_x+1¹=右边，等式成立；
当m≥2时，
左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=A_x+1^m=右边，
因此②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）成立．
（3）A${\;}_{x+1}^{3}$=（x+1）x（x-1）=x³-x，
设f（x）=x³-x，x∈[0，a]，
∴f′（x）=3x²-1，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当f′（x）＞0时，即x＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，函数f（x）在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）单调递增，
当f′（x）＜0时，即0≤x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，函数f（x）在[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）单调递减，
当0≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，f（x）在[0，a]上单调递减，
∴f（x）_max=f（0）=0，f（x）_min=f（a）=a³-a
当a＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，函数f（x）在[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）单调递减，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a）上单调递增，
∴f（x）_min=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，f（x）_max={f（0），f（a）}，
当f（0）≥f（a）时，即a³-a≤0时，解得$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜a≤1，
当f（0）＜f（a）时，即a³-a＞0时，解得a＞1，
∴当$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜a≤1时，f（x）_max=f（0）=0，
当a＞1时，f（x）_max=f（a）=a³-a

点评 本题考查排列数公式，考查新定义问题，考查利用导函数求函数的单调区间和最值，考查解决问题的能力和运算能力，是一个综合题目．