Question

6．已知实数a＞0，函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{x-1}}+a，x＜0\\{e^{x-}}+\frac{a}{2}{x^2}-（a+1）x+a，x≥0\end{array}\right.$，其中e是自然对数的底数，若函数y=f（x）与y=f[f（x）]有相同的值域，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，2]
• B． [1，2]
• C． （0，1]
• D． [1，e]

Answer 1

分析 利用导数结合图象求出函数f（x）的值域，再由函数y=f（x）与y=f[f（x）]有相同的值域可得$\frac{a}{2}≤1$，从而求得a的取值范围．

解答 解：当x＜0时，f（x）在（-∞，0）上单调递增，且x→-∞时，f（x）→a；
当x≥0时，f′（x）=e^x-1+ax-a-1，
∴f′（x）是增函数，且f′（1）=0，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
又f（1）=$\frac{a}{2}$，当x→+∞时，f（x）→+∞，
作出f（x）的大致函数图象如图所示：

由图象可知f（x）≥$\frac{a}{2}$，即函数y=f（x）的值域为[$\frac{a}{2}$，+∞）．
∵y=f[f（x）]的值域也是[$\frac{a}{2}$，+∞）．
∴$\frac{a}{2}≤1$，得a≤2．
∴实数a的取值范围是（0，2]．
故选：A．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断与极值计算，体现了数形结合的解题思想方法，属于中档题．