Question

11．在极坐标系中，圆 C以点C（2，$\frac{π}{3}$）为圆心，2为半径．在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴且单位长度一样的直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（2，$\sqrt{3}$），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）将极坐标方程转化成直角坐标系方程，求得C点坐标，半径为2，写出圆C的直角坐标方程；
（2）点P（2，$\sqrt{3}$）在直线l上且在圆的外部，把直线的参数方程代入圆的方程，由直线的参数t的几何意义得答案．

解答 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$），
ρ=2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ，
ρ²=2ρcosθ+2$\sqrt{3}$ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为：x²+y²-2x-2$\sqrt{3}$y=0（或（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4）；
（2）∵直线l$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t为参数）$恰过定点P（2，$\sqrt{3}$），
将$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t为参数）$代入圆C的直角坐标方程，得t²-t-3=0，
∴△=1-4×（-3）=13＞0，t₁+t₂=1＞0，t₁•t₂=-3＜0，
∴t₁、t₂异号，
∴|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线参数方程中参数的几何意义，是中档题．