Question

4．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）；直线l₁的普通方程为x+1=0，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C与直线l₁的极坐标方程；
（2）若直线l₂的极坐标方程为θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），且直线l₂与圆C交于O、P两点（O为坐标原点），直线l₂与直线l₁交于点Q，求|PQ|．

Answer 1

分析 （1）由圆的参数方程消去参数求出圆C的普通方程，由此能求出圆C极坐标方程；由直线l的直角坐标方程，能求出直线l的极坐标方程．
（2）直线l₂：θ=$\frac{π}{3}$的直角坐标方程为y=$\sqrt{3}$x，联立方程组分别求出P和Q的坐标，由此利用两点间距离公式能求出线段PQ的长．

解答 解：（1）∵圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴圆C的普通方程为（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=4，
∴圆C极坐标方程为ρ²-4ρ-4=0．
∵直线l的方程为x+1=0，
∴直线l的极坐标方程为ρcosθ+1=0．
（2）直线l₂：θ=$\frac{π}{3}$的直角坐标方程为y=$\sqrt{3}$x，
联立 $\left\{\begin{array}{l}{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}=4}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
即O（0，0），P（1，$\sqrt{3}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，得Q（-1，-$\sqrt{3}$），
∴线段PQ的长|PQ|=$\sqrt{4+12}$=4．

点评 本题考查圆和直线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．