Question

9．如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）已知产量x和能耗y呈线性关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$．
（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
参考公式；$\left\{\begin{array}{l}{\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}}\\{\widehat{a}=\widehat{y}-\widehat{b}\overline{x}}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）根据题意计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，写出线性回归方程；
（2）利用线性回归方程计算x=100时$\stackrel{∧}{y}$的值，再预测生产100吨甲产品的生产能耗
比技改前降低了多少．

解答 解：（1）根据题意，计算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（3+4+5+6）=4.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=3.5，
$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=3²+4²+5²+6²=86；
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}y}_{i}-4\overline{x}\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}}^{2}-{4\overline{x}}^{2}}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4{×4.5}^{2}}$=0.7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35；
∴y关于x的线性回归方程为$\widehat{y}$=0.7x+0.35；
（2）利用线性回归方程计算x=100时，$\stackrel{∧}{y}$=100×0.7+0.35=70.35（吨标准煤），
即预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90-70.35=19.65（吨标准煤）．

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．