Question

16．某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1t A，1t B产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：

原料	每种产品所需原料（t）		现有原 料数（t）
	A	B
甲	2	1	14
乙	1	3	18
利润（万元/t）	5	3	-

（1）在现有原料条件下，生产A，B两种产品各多少时，才能使利润最大？
（2）每吨B产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？

Answer 1

分析 （1）设生产A、B两种产品分别为xt，yt，其利润总额为z万元，
列出约束条件，作出可行域，求出最优解，计算目标函数的最大值；
（2）设B产品的利润为a万元（a＞0），写出利润函数z=5x+ay，
利用斜率值列出不等式-2≤$\frac{5}{-a}$≤-$\frac{1}{3}$，求出a的取值范围，
根据图形求超出这个范围时最优解的变化．

解答 解：（1）设生产A、B两种产品分别为xt，yt，其利润总额为z万元，
根据题意，可得约束条件为$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤14}\\{x+3y≤18}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$；
作出可行域如图所示：
目标函数为z=5x+3y，
作直线l₀：5x+3y=0，
再作一组平行于l₀的直线l：5x+3y=z，
当直线l经过P点时z=5x+3y取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=14}\\{x+3y=18}\end{array}\right.$，
解得交点P（$\frac{24}{5}$，$\frac{22}{5}$），
所以生产A产品$\frac{24}{5}$t，B产品$\frac{22}{5}$t时，才能使利润最大，
最大值为z_max=5×$\frac{24}{5}$+3×$\frac{22}{5}$=37.2（万元）；
（2）设B产品的利润为a万元（a＞0），
则利润函数为z=5x+ay，其斜率为-$\frac{5}{a}$；
且直线2x+y=14，斜率为-2；
直线x+3y=18，斜率为-$\frac{1}{3}$；
根据题意得，-2≤$\frac{5}{-a}$≤-$\frac{1}{3}$，
解得$\frac{5}{2}$≤a≤15；
所以每吨B产品的利润在$\frac{5}{2}$～15/t范围变化时，原最优解不变；
当超出这个范围时，最优解将变为（7，0）或（0，6）．

点评 本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是中档题．