Question

2．已知函数f（x）=x³+bx²+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0，f′（x）为f（x）的导函数，g（x）=a•e^x（a，b，c∈R，e为自然对数的底）
（1）求b，c的值；
（2）若?x∈（0，2），使g（x）=f′（x）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f′（x）=3x²+2bx+c，知f（x）在x=1处的切线方程为y=（3+2b+c）x-2-b，故3+2b+c=3，-2-b=-$\frac{1}{2}$，由此能求出f（x）；
（2）若?x∈（0，2），使g（x）=f′（x）成立，即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，故a=$\frac{3{x}^{2}-3x+3}{{e}^{x}}$，令h（x）=$\frac{3{x}^{2}-3x+3}{{e}^{x}}$，求出h（x）的导数和单调区间、极值，由此能求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²+2bx+c，f（1）=1+b+c，f′（1）=3+2b+c，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y-（1+b+c）=（3+2b+c）（x-1），
即y=（3+2b+c）x-2-b，
由在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0，
可得3+2b+c=3，-2-b=-$\frac{1}{2}$，
即b=-$\frac{3}{2}$，c=3，
∴f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²+3x．
（2）若存在x∈（0，2），使g（x）=f′（x）成立，
即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，
∴a•e^x=3x²-3x+3，
∴a=$\frac{3{x}^{2}-3x+3}{{e}^{x}}$，
令h（x）=$\frac{3{x}^{2}-3x+3}{{e}^{x}}$，
∴h′（x）=$\frac{6x-3-3{x}^{2}+3x-3}{{e}^{x}}$
=$\frac{-3{x}^{2}+9x-6}{{e}^{x}}$
=-$\frac{3（x-2）（x-1）}{{e}^{x}}$，
令h′（x）=0，得x₁=1，x₂=2，列表讨论：

x	（0，1）	1	（1，2）	2
h′（x）	-	0	+	0
h（x）	↓	极小值	↑	极大值

∴h（x）有极小值h（1）=$\frac{3}{e}$，h（x）有极大值h（2）=$\frac{9}{{e}^{2}}$，
且当x→0时，h（x）→3＞$\frac{9}{{e}^{2}}$，
∴a的取值范围是[$\frac{3}{e}$，3）．

点评 本题考查实数值和实数取值范围的求法，具体涉及到导数的应用、函数极值的求法和应用、切线方程的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．