Question

14．如图所示，MCN是某海湾旅游区的一角，为营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定建立面积为4$\sqrt{3}$平方千米的三角形主题游戏乐园ABC，并在区域CDE建立水上餐厅．已知∠ACB=120°，∠DCE=30°．
（Ⅰ）设AC=x，AB=y，用x表示y，并求y的最小值；
（Ⅱ）设∠ACD=θ（θ为锐角），当AB最小时，用θ表示区域CDE的面积S，并求S的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC=x，AB=y，利用余弦定理求得BC的值，可得y的解析式，再利用基本不等式求得y的最小值．
（Ⅱ）△ACD中，由正弦定理求得CD的值，△ACE中，由正弦定理可得CE的值，根据区域CDE的面积S=$\frac{1}{2}$•CD•CE•sin30°，利用正弦函数的值域求得区域CDE的面积S的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵AC=x，AB=y，∠ACB=120°，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AC•BC•sin120°=$\frac{1}{2}•x•BC•\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{16}{x}$．
△ABC中，利用余弦定理可得AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos120°，
即y²=x²+$\frac{256}{{x}^{2}}$+16≥2$\sqrt{{x}^{2}•\frac{256}{{x}^{2}}}$+16=48，
∴y≥4$\sqrt{3}$，当且仅当x²=16，即x=4时，取等号，
故当x=4时，y取得最小值为4$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）设∠ACD=θ（θ为锐角），
当AB最小时，x=AC=4=BC，AB=4$\sqrt{3}$，∠CAB=∠CBA=30°，
△ACD中，由正弦定理可得$\frac{CD}{sin∠CAB}$=$\frac{AC}{sin∠CDA}$，
∴CD=$\frac{AC•sin∠CAB}{sin∠CDA}$=$\frac{4sin30°}{sin（150°-θ）}$=$\frac{2}{sin（150°-θ）}$，
△ACE中，由正弦定理可得CE=$\frac{AC•sin∠CAE}{sin∠CEA}$=$\frac{4sin30°}{sin（120°-θ）}$=$\frac{2}{sin（120°-θ）}$，
根据区域CDE的面积S=$\frac{1}{2}$•CD•CE•sin30°=$\frac{1}{sin（150°-θ）•sin（120°-θ）}$=$\frac{4}{\sqrt{3}+2sin2θ}$，
故当2θ=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{4}$时，区域CDE的面积S取得最小值为$\frac{4}{\sqrt{3}+2}$=8-4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查余弦定理、正弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．